미적분 예제

$x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

단계 2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

단계 2.8

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

단계 2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

단계 2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

단계 2.10.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

단계 2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

단계 2.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1))$

단계 2.13

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1)$

단계 2.14

$\frac{1}{3}$ 와 ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1)$

단계 2.15

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$1 + 3 \frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3}$

단계 2.16

${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$1 + 3 \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 2.17

$- 1 {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 $- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 3 \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 2.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$1 + 3 \frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 + 3 (- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

단계 2.20

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$1 - 3 \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.21

$- 3$ 와 $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{- 3}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.22

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.23

공약수로 약분합니다.

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단계 2.23.1

$3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

단계 2.23.2

공약수로 약분합니다.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.23.3

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{- 1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.24

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$