미적분 예제

$y = 1 - x e^{y}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (1 - x e^{y})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $1 - x e^{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{y}]$

단계 3.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x e^{y}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{y}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x e^{y}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x e^{y}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

단계 3.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$0 - (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.3.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$0 - (x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - (x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1)$

단계 3.2.6

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - (x e^{y} y' + e^{y})$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$0 - (x e^{y} y') - e^{y}$

단계 3.3.2

$0$ 에서 $- (- x e^{y} y' - e^{y})$ 을 뺍니다.

$- x e^{y} y' - e^{y}$

단계 3.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{y} x y' - e^{y}$

단계 3.3.4

$- e^{y} x y' - e^{y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x e^{y} y' - e^{y}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - x e^{y} y' - e^{y}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- x e^{y} y' - e^{y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - x y' e^{y} - e^{y}$

단계 5.2

방정식의 양변에 $x y' e^{y}$ 를 더합니다.

$y' + x y' e^{y} = - e^{y}$

단계 5.3

$y' + x y' e^{y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + x y' e^{y} = - e^{y}$

단계 5.3.2

$x y' e^{y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (x e^{y}) = - e^{y}$

단계 5.3.3

$y' \cdot 1 + y' (x e^{y})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (1 + x e^{y}) = - e^{y}$

단계 5.4

$y' (1 + x e^{y}) = - e^{y}$ 의 각 항을 $1 + x e^{y}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$y' (1 + x e^{y}) = - e^{y}$ 의 각 항을 $1 + x e^{y}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (1 + x e^{y})}{1 + x e^{y}} = \frac{- e^{y}}{1 + x e^{y}}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$1 + x e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (1 + x e^{y})}{1 + x e^{y}} = \frac{- e^{y}}{1 + x e^{y}}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- e^{y}}{1 + x e^{y}}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{e^{y}}{1 + x e^{y}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y}}{1 + x e^{y}}$