미적분 예제

$\ln (y) + \frac{x}{y} = 2021$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\ln (y) + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2021)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\ln (y) + \frac{x}{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.2.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} y' + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.2.3

$\frac{1}{y}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

단계 2.3.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

항을 묶습니다.

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단계 2.4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y'}{y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

단계 2.4.1.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $y^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.4.1.2.1

$\frac{y'}{y}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y' y}{y \cdot y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

단계 2.4.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y' y}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

단계 2.4.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y' y + y - x y'}{y^{2}}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}}$

단계 3

$2021$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2021$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2021$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}} = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$y y' - x y' + y = 0$

단계 5.2

$y'$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$y y' - x y' = - y$

단계 5.2.2

$y y' - x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1

$y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' y - x y' = - y$

단계 5.2.2.2

$- x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (y) + y' (- x) = - y$

단계 5.2.2.3

$y' (y) + y' (- x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (y - x) = - y$

단계 5.2.3

$y' (y - x) = - y$ 의 각 항을 $y - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

$y' (y - x) = - y$ 의 각 항을 $y - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

단계 5.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.2.1

$y - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

단계 5.2.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- y}{y - x}$

단계 5.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y}{y - x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y - x}$