미적분 예제

$y = x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{- 3}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 입니다.

$4 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.2.3

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.2.4

$\frac{- 3}{2}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.2.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{3}{10}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{10} x^{6}$ 의 미분은 $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3.3

$6$ 와 $\frac{3}{10}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{6 \cdot 3}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3.4

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3.5

$\frac{18}{10}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3.6

$18$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$18 x^{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} (2 x)$

단계 1.4.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - 2 (\frac{1}{2}) x$

단계 1.4.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2}{2} x$

단계 1.4.5

$\frac{- 2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2 x}{2}$

단계 1.4.6

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2}$

단계 1.4.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

단계 1.4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- x}{1}$

단계 1.4.6.2.4

$- x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - x$

단계 1.5

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{9}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{9 x^{5}}{5}$ 의 미분은 $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.3

$5$ 와 $\frac{9}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 9}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.4

$5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.5

$\frac{45}{5}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{45 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.6

$45$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.1

$45 x^{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (9 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.2.6.2.4

$9 x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$9 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.3.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- \frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{2 x^{4}}$ 의 미분은 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 2.5.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 2.5.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.3.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

단계 2.5.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

단계 2.5.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

단계 2.5.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

단계 2.5.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

단계 2.5.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

단계 2.5.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

단계 2.5.8

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

단계 2.5.9

$4$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

단계 2.5.10

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

단계 2.5.11

$\frac{12}{2}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

단계 2.5.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2 x^{5}}$

단계 2.5.13

$12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.13.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

단계 2.5.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.13.2.1

$2 x^{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

단계 2.5.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

단계 2.5.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{6}{x^{5}}$

단계 2.6

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{6}{x^{5}} - 1$