미적분 예제

$y = arcsec (\cos (2 x))$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = arcsec (x)$ , $g (x) = \cos (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 3.1.2

$arcsec (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.2.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3

분수를 통분합니다.

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단계 3.3.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.3.2

$- 2$ 와 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

단계 3.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$\cos^{2} (2 x)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

단계 3.4.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

단계 3.4.3

$\cos^{2} (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

단계 3.4.4

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

단계 3.4.5

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ 을 $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

단계 3.4.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

단계 3.4.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.7.1

$- 1$ 와 $\sin^{2} (2 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

단계 3.4.7.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

단계 3.4.7.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

단계 3.4.8

$\sin (2 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.8.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

단계 3.4.8.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

단계 3.4.9

분수를 나눕니다.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

단계 3.4.10

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

단계 3.4.11

분모를 실수로 만들려면 $\frac{2}{i}$ 의 분자와 분모에 $i$ 의 켤레복소수를 곱합니다.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

단계 3.4.12

곱합니다.

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단계 3.4.12.1

조합합니다.

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

단계 3.4.12.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.12.2.1

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

단계 3.4.12.2.2

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

단계 3.4.12.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

단계 3.4.12.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

단계 3.4.12.2.5

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

단계 3.4.13

$\frac{2 i}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

단계 3.4.14

$- 1 \cdot (2 i)$ 을 $- (2 i)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

단계 3.4.15

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (- 2 i \sec (2 x))$

단계 3.4.16

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 i \sec (2 x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 2 i \sec (2 x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$