미적분 예제

$y = (3 x^{4} - 7) \cdot (5 x^{2} + 1)$

단계 1

$f (x) = 3 x^{4} - 7$ , $g (x) = 5 x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1] + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(3 x^{4} - 7) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

단계 2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(3 x^{4} - 7) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{4} - 7) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

단계 2.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(3 x^{4} - 7) (10 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

단계 2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(3 x^{4} - 7) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(3 x^{4} - 7) (10 x) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

단계 2.6.2

$3 x^{4} - 7$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$10 \cdot (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.8

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.9

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.10

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.11

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + 0)$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$12 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3})$

단계 2.12.2

$5 x^{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$10 (3 x^{4} - 7) x + 12 \cdot (5 x^{2} + 1) x^{3}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(10 (3 x^{4}) + 10 \cdot - 7) x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + (12 (5 x^{2}) + 12 \cdot 1) x^{3}$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5

항을 묶습니다.

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단계 3.5.1

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (x^{1} x^{4}) + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$30 x^{1 + 4} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$30 x^{5} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.5

$10$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$30 x^{5} - 70 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.6

$5$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{2} x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$30 x^{5} - 70 x + 60 (x^{3} x^{2}) + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{3 + 2} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.7.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 \cdot 1 x^{3}$

단계 3.5.8

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 x^{3}$

단계 3.5.9

$30 x^{5}$ 를 $60 x^{5}$ 에 더합니다.

$90 x^{5} - 70 x + 12 x^{3}$

단계 3.6

항을 다시 정렬합니다.

$90 x^{5} + 12 x^{3} - 70 x$