미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

단계 1.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

단계 1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

단계 1.1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

단계 1.1.2.5.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

단계 1.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{2} x^{2}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x)$

단계 1.1.4.3

$2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x$

단계 1.1.4.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6}{2} x$

단계 1.1.4.5

$\frac{6}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6 x}{2}$

단계 1.1.4.6

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.6.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2}$

단계 1.1.4.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)}$

단계 1.1.4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}$

단계 1.1.4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3 x}{1}$

단계 1.1.4.6.2.4

$3 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.2.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

단계 1.2.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $3 x^{2} + 6 x + 3$ 입니다.

$3 x^{2} + 6 x + 3$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3 x^{2} + 6 x + 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 6 x + 3 = 0$

단계 2.2.1.2

$6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 = 0$

단계 2.2.1.3

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (1) = 0$

단계 2.2.1.4

$3 (x^{2}) + 3 (2 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1) = 0$

단계 2.2.1.5

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

단계 2.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

단계 2.2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 2.2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 2.2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$

단계 2.3

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

단계 2.3.2.1.2

${(x + 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

${(x + 1)}^{2} = 0$

단계 2.4

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

단계 3.1.2.1.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

단계 3.1.2.1.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

단계 3.1.2.1.5

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}$

단계 3.1.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

$- 1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + \frac{3}{2}$

단계 3.1.2.2.2

$\frac{- 1}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{2}$

단계 3.1.2.2.3

$\frac{- 1}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2}$

단계 3.1.2.2.4

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.1.2.2.5

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

단계 3.1.2.2.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

단계 3.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- 1) = \frac{1 - 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{4}$

단계 3.1.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.4.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 3 \cdot 2}{4}$

단계 3.1.2.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 6}{4}$

단계 3.1.2.5

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.5.1

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 6}{4}$

단계 3.1.2.5.2

$- 3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (- 1) = \frac{3}{4}$

단계 3.1.2.6

최종 답은 $\frac{3}{4}$ 입니다.

$\frac{3}{4}$

단계 3.2

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ 에 $- 1$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 1, \frac{3}{4})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 1, \frac{3}{4})$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1.1) = 3 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) + 3$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1.1) = 3 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) + 3$

단계 5.2.1.2

$3$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = 3.63 + 6 (- 1.1) + 3$

단계 5.2.1.3

$6$ 에 $- 1.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = 3.63 - 6.6 + 3$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$3.63$ 에서 $6.6$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1.1) = - 2.97 + 3$

단계 5.2.2.2

$- 2.97$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (- 1.1) = 0.03$

단계 5.2.3

최종 답은 $0.03$ 입니다.

$0.03$

단계 5.3

$- 1.1$ 에서의 이계도함수는 $0.03$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 1, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.9$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.9) = 3 {(- 0.9)}^{2} + 6 (- 0.9) + 3$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 0.9$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.9) = 3 \cdot 0.81 + 6 (- 0.9) + 3$

단계 6.2.1.2

$3$ 에 $0.81$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.9) = 2.43 + 6 (- 0.9) + 3$

단계 6.2.1.3

$6$ 에 $- 0.9$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.9) = 2.43 - 5.4 + 3$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2.43$ 에서 $5.4$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.9) = - 2.97 + 3$

단계 6.2.2.2

$- 2.97$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.9) = 0.03$

단계 6.2.3

최종 답은 $0.03$ 입니다.

$0.03$

단계 6.3

$- 0.9$ 에서의 이계도함수는 $0.03$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- 1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 그래프에서는 이러한 조건을 만족시키는 점이 없습니다.

변곡점 없음