미적분 예제

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

단계 1

$u = x + 1$ 이고 $d v = e^{- 2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

단계 2.2

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

단계 4.2

$\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

단계 6

먼저 $u = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 6.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 6.2

$u = - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

단계 6.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 2$

단계 6.4

$u = - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

단계 6.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 4$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

단계 6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 7.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

단계 10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

단계 11

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

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단계 12.1

$2$ , $1$ 일 때, $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ 값을 계산합니다.

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

단계 12.2

$- 4$ , $- 2$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3

간단히 합니다.

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단계 12.3.1

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.5

$- 3$ 와 $\frac{1}{2 e^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.8

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.9

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.11

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.12

$2$ 와 $\frac{1}{2 e^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.13

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.13.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.13.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

단계 12.3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

단계 12.3.15

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ 와 $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

단계 12.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

단계 12.3.17

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

단계 12.3.18

$- 2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

단계 12.3.19

$e^{4}$ 와 $\frac{- 2}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 12.3.20

$e^{4}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 12.3.21

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.21.1

$- 2 e^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 12.3.21.2

공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.21.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 12.3.21.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 12.3.21.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 12.3.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.2

$- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.2.1

$e^{- 4}$ 와 $\frac{e^{4}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.2.2

지수를 더하여 $e^{- 4}$ 에 $e^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.2.2.2

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.2.3

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.3

$- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.3.2

$\frac{e^{4}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.3.3

$\frac{e^{4}}{2}$ 와 $e^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.3.4

지수를 더하여 $e^{4}$ 에 $e^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.3.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.3.4.2

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.5

$- 3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.1.1.7.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.7.2

$- 6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

단계 13.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

단계 13.1.3

$\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.1

$\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2 e^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

단계 13.1.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

단계 13.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

단계 13.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4 e^{4}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$\frac{1}{e^{2}}$ 에 $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

단계 13.3.2

지수를 더하여 $e^{2}$ 에 $e^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.2.1

$e^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

단계 13.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

단계 13.3.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

단계 13.3.3

$e^{4} \cdot 4$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

단계 13.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

단계 13.5

$4 e^{2}$ 를 $e^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

소수 형태:

$0.13711673 \dots$

단계 15