미적분 예제

$y = arctanh (1 - 2 x)$

단계 1

$f (x) = arctanh (x)$ , $g (x) = 1 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

단계 1.2

$arctanh (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 - u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $1 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.5

분수를 통분합니다.

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단계 2.5.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

단계 2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

단계 3.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = 1 - 2 x$ 입니다.

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

단계 3.1.3

간단히 합니다.

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단계 3.1.3.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

단계 3.1.3.2

$2 - 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

단계 3.1.3.2.2

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

단계 3.1.3.2.3

$2 (1) + 2 (- x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

단계 3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

단계 3.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

단계 3.1.3.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

단계 3.1.3.6

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

단계 3.1.3.7

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

단계 3.1.3.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

단계 3.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1

$4 (1 - x) x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

단계 3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

단계 3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

단계 3.3

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$