미적분 예제

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

단계 1

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

단계 2

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 2.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 + 1$

단계 2.5

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 4$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

단계 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 5.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 5.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 5.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 5.2.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 5.2.5

$\frac{2}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 5.2.6

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 5.2.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

단계 5.2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

단계 5.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

단계 5.2.10

$16$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

단계 5.2.11

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{14}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

단계 5.2.12

$3$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

단계 5.2.13

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{42}{6}$

단계 5.2.14

$42$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.14.1

$42$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

단계 5.2.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.14.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

단계 5.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

단계 5.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7}{1}$

단계 5.2.14.2.4

$7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7$

단계 6