미적분 예제

$x e^{x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

단계 1.3.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x e^{x} + e^{x}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x e^{x} + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.2.4

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

단계 2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$x e^{x} + e^{x} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

단계 4.1.3.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x e^{x} + e^{x}$ 입니다.

$x e^{x} + e^{x}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x e^{x} + e^{x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x e^{x} + e^{x} = 0$

단계 5.2

$x e^{x} + e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x + e^{x} = 0$

단계 5.2.2

$1$ 을 곱합니다.

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

단계 5.2.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (x + 1) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

단계 5.4

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 5.4.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 5.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 5.4.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 5.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 5.6

$e^{x} (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - 1$

단계 8

$x = - 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$(- 1) e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 1 \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

단계 9.1.2

$- 1 \frac{1}{e}$ 을 $- \frac{1}{e}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

단계 9.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{e} + 2 \frac{1}{e}$

단계 9.1.4

$2$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

단계 9.2

분수를 통분합니다.

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단계 9.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 + 2}{e}$

단계 9.2.2

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e}$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = - 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = - 1$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e}$

단계 11.2.2

$- 1 \frac{1}{e}$ 을 $- \frac{1}{e}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{e}$

단계 11.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{e}$ 입니다.

$y = - \frac{1}{e}$

단계 12

$f (x) = x e^{x}$ 에 대한 극값입니다.

$(- 1, - \frac{1}{e})$ 은 극솟값임

단계 13