미적분 예제

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

단계 1

$u = 4 x + 5$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

단계 2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

단계 3

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

단계 4

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

단계 5

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 5.2

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 5.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 5.4

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

단계 5.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 2$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

단계 7

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

단계 8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2$ , $0$ 일 때, $(4 x + 5) (- e^{- x})$ 값을 계산합니다.

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

단계 9.2

$- 2$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.2

$8$ 를 $5$ 에 더합니다.

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.4

$- 1$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.5

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.6

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.7

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.8

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.11

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

단계 9.3.12

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

단계 9.3.13

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

단계 10.1.2

$- 13$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

단계 10.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

단계 10.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

단계 10.1.5

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

단계 10.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

단계 10.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

단계 10.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

단계 10.4

$- 13$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

단계 10.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

단계 10.6

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

소수 형태:

$6.69930018 \dots$

단계 12