미적분 예제

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = e^{- x^{3}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$e^{- x^{3}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

단계 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x^{3}$ 로 바꿉니다.

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 2.1.3

미분합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

단계 2.1.4.2

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

단계 2.2

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = e^{- 0}$

단계 2.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = e^{0}$

단계 2.3.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

단계 2.6

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

단계 3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 4

상수 규칙을 적용합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$e^{- t^{3}}$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{3} u_{2}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$e^{- t^{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

단계 5.2.2

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

공통분모를 이용하여 분수를 통분합니다.

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단계 6.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

단계 6.1.2

$- e^{- t^{3}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

단계 6.1.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

단계 6.1.4

$- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

단계 6.1.5

$- (e^{- t^{3}} - 1)$ 을 $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

단계 6.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

단계 6.2

극한값을 계산합니다.

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단계 6.2.1

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

단계 6.2.2

$\frac{1}{3}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

단계 6.2.3

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 6.3

지수 $- t^{3}$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- t^{3}}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 6.4

극한값을 계산합니다.

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단계 6.4.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

단계 6.4.2

답을 간단히 합니다.

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단계 6.4.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

단계 6.4.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

단계 6.4.2.3

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{3})$

단계 6.4.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{3}$

소수 형태:

$0.\overline{3}$