미적분 예제

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

단계 2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- 2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

단계 3.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

단계 3.3

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

단계 5.2

$\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

단계 7

먼저 $u = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 7.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 7.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

단계 8.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

단계 12

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 을 $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 13.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 13.2.2

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 13.2.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

단계 15.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

단계 15.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

단계 15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

단계 15.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

단계 15.3.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

단계 15.3.3

공약수로 약분합니다.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

단계 15.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

단계 15.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

단계 15.5

공통분모를 사용하여 $- e^{- 2 x} x$ 와 $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ 을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

$e^{- 2 x}$ 를 옮깁니다.

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

단계 15.5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- x e^{- 2 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

단계 15.5.3

$- x e^{- 2 x}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

단계 15.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

단계 15.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.1

$- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ 에서 $e^{- 2 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.1.1

$- x e^{- 2 x} \cdot 2$ 에서 $e^{- 2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

단계 15.6.1.2

$- e^{- 2 x}$ 에서 $e^{- 2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

단계 15.6.1.3

$e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ 에서 $e^{- 2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

단계 15.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

단계 15.7

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

단계 15.8

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

단계 15.9

$- (2 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

단계 15.10

$- (2 x + 1)$ 을 $- 1 (2 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

단계 15.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

단계 16

괄호를 제거합니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$