미적분 예제

$x^{2} e^{k x}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{k x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = k x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $k x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $k x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$k$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $k x$ 의 미분은 $k \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} (2 x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$

단계 4.2

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{2} k e^{k x} + 2 x e^{k x}$