미적분 예제

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

단계 1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

단계 3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

단계 3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 5

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.7

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 6.8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 6.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 6.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

단계 6.11

식을 간단히 합니다.

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단계 6.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

단계 6.11.2

$x^{2} - 2 x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6

항을 묶습니다.

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단계 7.6.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.8

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.9

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.10

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.11

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.12

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.13

$- 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.14

$- 2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 7.6.15

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

단계 7.6.16

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

단계 7.6.17

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$