미적분 예제

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ 이므로 $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$2 - 3 e^{3 x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

단계 2.1.2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 e^{3 x^{2}}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ 입니다.

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

단계 2.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

단계 2.1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

단계 2.1.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

단계 2.1.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 2.1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

단계 2.1.3.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

단계 2.1.3.6

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

$0$ 에서 $18 e^{3 x^{2}} x$ 을 뺍니다.

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

단계 2.1.4.2

$- 18 e^{3 x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

단계 3.2

$\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ 에 $\frac{1}{18}$ 을 곱합니다.

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

단계 3.3

$\sqrt{u_{2}}$ 의 왼쪽으로 $18$ 이동하기

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

단계 4

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

단계 5

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{18}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{18}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

단계 7

식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\frac{1}{18}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

단계 7.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

단계 7.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{2}}$ 을(를) ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

단계 7.2.2

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

단계 7.2.3

${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 7.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

단계 7.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

단계 7.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

단계 8

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ 을 $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9.2.2

$- 2$ 와 $\frac{5}{18}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9.2.3

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9.2.4

$- 10$ 및 $18$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.4.1

$- 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9.2.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.4.2.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10

$u_{2}$ 를 모두 $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$