미적분 예제

$\tan^{5} (x)$

단계 1

$\tan^{5} (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \tan^{5} (x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

단계 4

$\tan^{4} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

단계 5.2

${\tan (x)}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (x)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

단계 7

이항정리 이용

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

단계 8

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

단계 8.2.2

$\tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

단계 8.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

단계 8.2.4

${(\sec^{2} (x))}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

단계 8.2.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

단계 10

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) |)$ 입니다.

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

단계 11

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

단계 12

먼저 $u_{1} = \sec (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 12.1

$u_{1} = \sec (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1.1

$\sec (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 12.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 12.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $u_{1}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ 가 됩니다.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

단계 14

먼저 $u_{2} = \sec (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{2} = \sec (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$\sec (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 14.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 14.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

단계 15

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{3}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ 가 됩니다.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${u_{1}}^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

단계 16.2

간단히 합니다.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

단계 17

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 17.1

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

단계 17.2

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

단계 18

답은 함수 $f (x) = \tan^{5} (x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$