미적분 예제

$f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)} d x$

단계 3

$\frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ 을 $\csc^{2} (4 x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \csc^{2} (4 x) d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 5

$\frac{5}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 6

먼저 $u_{1} = 3 x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{1} = 3 x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$3 x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 6.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 6.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 6.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 6.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1.4.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 + 0$

단계 6.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 6.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 7.2

$\sqrt{u_{1}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 8

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{5}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 9.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 9.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 9.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 9.2.2

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{6} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 9.2.3

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 9.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

단계 11

먼저 $u_{2} = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 11.1

$u_{2} = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 11.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 11.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 11.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

단계 12

$\csc^{2} (u_{2})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

단계 13

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 14

$- \cot (u_{2})$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u_{2})$ 이므로, $\csc^{2} (u_{2})$ 의 적분값은 $- \cot (u_{2})$ 이 됩니다.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

간단히 합니다.

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

단계 15.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\cot (u_{2})$ 을 묶습니다.

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

단계 16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 16.1

$u_{1}$ 를 모두 $3 x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

단계 16.2

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (4 x)}{4} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$

단계 18

답은 함수 $f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$