미적분 예제

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 1

분수 $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 4

먼저 $u = 9 + 16 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 32 x d x$ 이므로 $\frac{1}{32} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 9 + 16 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$9 + 16 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

단계 4.1.2

미분합니다.

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단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $9 + 16 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

단계 4.1.2.2

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{2}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 16 (2 x)$

단계 4.1.3.3

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$0 + 32 x$

단계 4.1.4

$0$ 를 $32 x$ 에 더합니다.

$32 x$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{32}$ 을 곱합니다.

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $32$ 이동하기

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 6

$\frac{1}{32}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{32}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{32}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 7.2

$2$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

단계 9

$9 + 16 x^{2}$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.1

$9$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

단계 9.2

$16 x^{2}$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

단계 9.3

$16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

단계 10

$\frac{1}{16}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

단계 11

$\frac{9}{16}$ 을 ${(\frac{3}{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

단계 12

$\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ 입니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$\frac{3}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

단계 13.1.2

$\frac{4}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

단계 13.1.3

$\frac{3}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

단계 13.1.4

$x$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

단계 13.1.5

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

단계 13.1.6

$\frac{4}{3}$ 와 $\arctan (\frac{4 x}{3})$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

단계 13.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$\frac{1}{16}$ 에 $\frac{4}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

단계 13.3.2

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

단계 13.3.3

$4$ 및 $48$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.3.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

단계 13.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.3.2.1

$48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

단계 13.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

단계 13.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $9 + 16 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$