미적분 예제

$\int 5 x^{3} e^{2 - 3 x^{4}} d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int x^{3} e^{2 - 3 x^{4}} d x$

단계 2

먼저 $u = 2 - 3 x^{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 12 x^{3} d x$ 이므로 $- \frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 2 - 3 x^{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$2 - 3 x^{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{4}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 - 3 x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

단계 2.1.2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{4}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 2.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 3 (4 x^{3})$

단계 2.1.3.3

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$0 - 12 x^{3}$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $12 x^{3}$ 을 뺍니다.

$- 12 x^{3}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 12} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{12}) d u$

단계 3.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{12}$ 을 묶습니다.

$5 \int - \frac{e^{u}}{12} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{12} d u)$

단계 5

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 \int \frac{e^{u}}{12} d u$

단계 6

$\frac{1}{12}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{12}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 5 (\frac{1}{12} \int e^{u} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{12}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5}{12} \int e^{u} d u$

단계 7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{12} \int e^{u} d u$

단계 8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{5}{12} (e^{u} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$- \frac{5}{12} e^{u} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $2 - 3 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{5}{12} e^{2 - 3 x^{4}} + C$