미적분 예제

$\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

단계 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ 을 $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1

$x^{3} + 3 x^{2}$ 을 $x^{2} (x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

단계 1.1.2

$3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

단계 1.1.3

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

단계 1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 3}$ 을(를) ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9.4

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 10

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 12

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 13

식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 13.2

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 15

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

단계 16

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 17

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19

지수를 더하여 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 19.1

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

$x + 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

간단히 합니다.

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단계 22.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 22.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.2.2

$x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3

$3 x + 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 22.3.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.2

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3.3

$3 x + 3 \cdot 2$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$