미적분 예제

$y = \sin (4 x - 7)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

단계 1.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $4 x - 7$ 로 바꿉니다.

$\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 1.2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 1.2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 1.2.5

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$\cos (4 x - 7) (4 + 0)$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (4 x - 7) \cdot 4$

단계 1.2.6.2

$\cos (4 x - 7)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f' (x) = 4 \cos (4 x - 7)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \cos (4 x - 7)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

단계 2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 4 x - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 7$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 2.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - 7$ 로 바꿉니다.

$4 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $4 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$- 4 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.3.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 2.3.6

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

단계 2.3.7.2

$4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x - 7)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 16 \sin (4 x - 7)$ 의 미분은 $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$ 입니다.

$- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$

단계 3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 7$ 로 바꿉니다.

$- 16 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$- 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - 7$ 로 바꿉니다.

$- 16 (\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $4 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$- 16 \cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 3.3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 3.3.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 3.3.5

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + 0)$

단계 3.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 16 \cos (4 x - 7) \cdot 4$

단계 3.3.6.2

$4$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 64 \cos (4 x - 7)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 64$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 64 \cos (4 x - 7)$ 의 미분은 $- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ 입니다.

$- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

단계 4.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 4 x - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 7$ 로 바꿉니다.

$- 64 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 4.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- 64 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - 7$ 로 바꿉니다.

$- 64 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$64 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

단계 4.3.2

합의 법칙에 의해 $4 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$64 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 4.3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$64 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$64 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 4.3.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$64 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

단계 4.3.6

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$64 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

단계 4.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$64 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

단계 4.3.7.2

$4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 256 \sin (4 x - 7)$