미적분 예제

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x - 1}$ 을(를) ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

단계 4.1.2

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

단계 4.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.2.2

$n = - \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.6.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.7.2

${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

단계 4.11

식을 간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

단계 4.11.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$