미적분 예제

$\frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9

합의 법칙에 의해 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 11

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 13

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 14

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 16

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 16.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 18

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 19

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 20

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 20.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 20.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{- 1 + 1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 20.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{0}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 20.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{0}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 21

$x^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 22

공통 분모를 가지는 분수로 $(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 23

$(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 25

$2$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 26

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 27

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 28

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 29

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}$ 에 $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 30

간단히 합니다.

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단계 30.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 30.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 30.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 30.2.1.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 30.2.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 30.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 30.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 30.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 30.2.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 30.2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 30.3

항을 묶습니다.

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단계 30.3.1

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 30.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 30.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$