미적분 예제

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = 4 x^{2} - 16$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} - 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.5

$- 16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 16$ 입니다.

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$x - 2$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.7

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.9

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2.10.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.2

$8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.4

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.4.2

$8 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$4 x^{2} - 16 x + 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.5.1.1

$4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.2

$- 16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.3

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4

$4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.5

$4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.5.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.3.5.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.5.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

단계 1.3.5.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.5.2.4

$a = x$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.6

${(x - 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.3.6.2

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = 4$

단계 2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = 0$