미적분 예제

$(8 (4^{x})) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int 8 (4^{x}) d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

단계 2.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

단계 2.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

단계 2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

단계 3

먼저 $u = 3 + 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = 3 + 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$3 + 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

단계 3.1.2

미분합니다.

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단계 3.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.1.2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 \cdot 1$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 2$

단계 3.1.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 4

$2^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

단계 6

$2^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

단계 7.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{\ln (2)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $3 + 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$