미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\frac{3}{10}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{10} x^{5}$ 의 미분은 $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2.3

$5$ 와 $\frac{3}{10}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2.5

$\frac{15}{10}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2.6

$15$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$15 x^{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.2.1

$10$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 (4 x^{3})$

단계 1.1.3.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x^{4}}{2}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.3

$4$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.5

$\frac{12}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.6

$12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.6.1

$12 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.2.6.2.4

$6 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $20 x^{3}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$6 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

단계 1.2.3.3

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{3} + 60 x^{2}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $6 x^{3} + 60 x^{2}$ 입니다.

$6 x^{3} + 60 x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

단계 2.2

$6 x^{3} + 60 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6 x^{3}$ 에서 $6 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

단계 2.2.2

$60 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10) = 0$

단계 2.2.3

$6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10)$ 에서 $6 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{2} (x + 10) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x + 10$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 10$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 10 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$x = - 10$

단계 2.6

$6 x^{2} (x + 10) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 10$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

단계 3.1.2.1.2

$\frac{3}{10}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

단계 3.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

단계 3.1.2.1.4

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 3.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.2

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 3.3

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 에 $- 10$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 10$ 을 대입합니다.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot {(- 10)}^{5} + 5 {(- 10)}^{4}$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- 10$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot - 100000 + 5 {(- 10)}^{4}$

단계 3.3.2.1.2

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

$- 100000$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 (- 10000)) + 5 {(- 10)}^{4}$

단계 3.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 \cdot - 10000) + 5 {(- 10)}^{4}$

단계 3.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 10) = 3 \cdot - 10000 + 5 {(- 10)}^{4}$

단계 3.3.2.1.3

$3$ 에 $- 10000$ 을 곱합니다.

$f (- 10) = - 30000 + 5 {(- 10)}^{4}$

단계 3.3.2.1.4

$- 10$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 10) = - 30000 + 5 \cdot 10000$

단계 3.3.2.1.5

$5$ 에 $10000$ 을 곱합니다.

$f (- 10) = - 30000 + 50000$

단계 3.3.2.2

$- 30000$ 를 $50000$ 에 더합니다.

$f (- 10) = 20000$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $20000$ 입니다.

$20000$

단계 3.4

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ 에 $- 10$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 10, 20000)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 10, 20000)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (- 10, 20000)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 10)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 10.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 10.1) = 6 {(- 10.1)}^{3} + 60 {(- 10.1)}^{2}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 10.1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 10.1) = 6 \cdot - 1030.301 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

단계 5.2.1.2

$6$ 에 $- 1030.301$ 을 곱합니다.

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

단계 5.2.1.3

$- 10.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 \cdot 102.01$

단계 5.2.1.4

$60$ 에 $102.01$ 을 곱합니다.

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 6120.6$

단계 5.2.2

$- 6181.806$ 를 $6120.6$ 에 더합니다.

$f'' (- 10.1) = - 61.206$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 61.206$ 입니다.

$- 61.206$

단계 5.3

$- 10.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 61.206$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, - 10)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 10)$ 에서 감소함

단계 6

$(- 10, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f'' (- 5) = 6 {(- 5)}^{3} + 60 {(- 5)}^{2}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 5) = 6 \cdot - 125 + 60 {(- 5)}^{2}$

단계 6.2.1.2

$6$ 에 $- 125$ 을 곱합니다.

$f'' (- 5) = - 750 + 60 {(- 5)}^{2}$

단계 6.2.1.3

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 5) = - 750 + 60 \cdot 25$

단계 6.2.1.4

$60$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f'' (- 5) = - 750 + 1500$

단계 6.2.2

$- 750$ 를 $1500$ 에 더합니다.

$f'' (- 5) = 750$

단계 6.2.3

최종 답은 $750$ 입니다.

$750$

단계 6.3

$- 5$ 에서의 이계도함수는 $750$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- 10, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- 10, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0.1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

단계 7.2.1.2

$6$ 에 $0.001$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 {(0.1)}^{2}$

단계 7.2.1.3

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 \cdot 0.01$

단계 7.2.1.4

$60$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.6$

단계 7.2.2

$0.006$ 를 $0.6$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = 0.606$

단계 7.2.3

최종 답은 $0.606$ 입니다.

$0.606$

단계 7.3

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $0.606$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 10, 20000)$ 입니다.

$(- 10, 20000)$

단계 9