미적분 예제

$S (t) = 2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.7

$\frac{3}{2}$ 와 $t^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.8

$2$ 와 $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.9

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.10

$6 t^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.11

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.2.11.4

$3 t^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.3

$\frac{d}{d t} [- 9 t]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 9$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 9 t$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.3.3

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + \frac{d}{d t} [6]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$6$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + 0$

단계 1.4.2

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (t) = 3 t^{\frac{1}{2}} - 9$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.8

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.9

$3$ 와 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 9]$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$- 9$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

단계 2.3.2

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (t) = \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

단계 3

$S (t)$ 의 $t$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$