미적분 예제

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 1

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 5.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

단계 5.2

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \sin^{3} (t) d t$

단계 6

$\sin^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

단계 7

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (t)$ 를 $1 - \cos^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

단계 8

먼저 $u = \cos (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = \cos (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\cos (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 8.1.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$- \sin (t)$

단계 8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - 1 + u^{2} d u$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$- u + C + \int u^{2} d u$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

단계 12

간단히 합니다.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

단계 13

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u$ 를 모두 $\cos (t)$ 로 바꿉니다.

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

단계 13.2

$t$ 를 모두 $\arcsin (x)$ 로 바꿉니다.

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

단계 14

답은 함수 $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$