미적분 예제

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 1.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 1.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

단계 1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

단계 1.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 1.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 1.5

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 1.6

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 1.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 1.6.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 1.6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 1.6.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 1.6.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 1.6.7

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 1.6.8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 1.6.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 1.6.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

단계 1.6.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

단계 1.6.11.2

$x^{2} - 2 x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

단계 1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.8

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.9

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.10

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.11

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.12

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.13

$- 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.14

$- 2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.15

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

단계 1.7.6.16

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

단계 1.7.6.17

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

단계 2.4.2

$- 6 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 2$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

단계 4.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

단계 4.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

단계 4.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 4.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 4.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 4.1.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

단계 4.1.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

단계 4.1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

단계 4.1.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 4.1.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

단계 4.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.1.6

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.1.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.1.6.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.1.6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.1.6.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.1.6.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.1.6.7

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.1.6.8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 4.1.6.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 4.1.6.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

단계 4.1.6.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

단계 4.1.6.11.2

$x^{2} - 2 x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

단계 4.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.6.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.8

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.9

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.10

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.11

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.12

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.13

$- 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.14

$- 2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.15

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

단계 4.1.7.6.16

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

단계 4.1.7.6.17

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

단계 5.2.1.2

$2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

단계 5.2.1.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

단계 5.2.1.4

$- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

단계 5.2.1.5

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

단계 5.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 이고 합이 $b = - 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1

$- 2 x$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

단계 5.2.2.1.1.2

$- 2$ 를 $1$ + $- 3$ 로 다시 씁니다.

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

단계 5.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

단계 5.2.2.1.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

단계 5.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

단계 5.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

단계 5.2.2.1.3

최대공약수 $3 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 5.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 5.4

$3 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 1 = 0$

단계 5.4.2

$3 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 x = - 1$

단계 5.4.2.2

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{3}$

단계 5.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.6

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

단계 8

$x = - \frac{1}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

$- \frac{1}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

단계 9.1.1.2

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

단계 9.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

단계 9.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

단계 9.1.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 + 2$

단계 9.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = - \frac{1}{3}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \frac{1}{3}$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = - \frac{1}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

단계 11.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

단계 11.2.3

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

단계 11.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

단계 11.2.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

단계 11.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

단계 11.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

단계 11.2.7.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

단계 11.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

단계 11.2.9

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.9.1

$- \frac{4}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

단계 11.2.9.2

$\frac{4}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

단계 11.2.10

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.10.1

${(- 1)}^{2}$ 를 옮깁니다.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

단계 11.2.10.2

${(- 1)}^{2}$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.10.2.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

단계 11.2.10.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

단계 11.2.10.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

단계 11.2.11

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

단계 11.2.12

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

단계 11.2.13

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

단계 11.2.14

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.14.1

$\frac{16}{9}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

단계 11.2.14.2

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

단계 11.2.14.3

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

단계 11.2.15

최종 답은 $- \frac{32}{27}$ 입니다.

$y = - \frac{32}{27}$

단계 12

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 \cdot 1 + 2$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 + 2$

단계 13.2

$- 6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 4$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

단계 15.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

단계 15.2.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

단계 15.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (1) = - 2 \cdot 0$

단계 15.2.5

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (1) = 0$

단계 15.2.6

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 16

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ 에 대한 극값입니다.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ 은 극솟값임

$(1, 0)$ 은 극댓값임

단계 17