미적분 예제

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

단계 1

$1$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

단계 2

$x$ 을 $- x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$0$

단계 2.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $- x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

단계 2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

단계 2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

단계 2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

단계 2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 4

상수 규칙을 적용합니다.

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 5

먼저 $u = - x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = - x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 5.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 5.2

$u = - x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0 + 1$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 5.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 5.4

$u = - x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

단계 5.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 2 + 1$

단계 5.5.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

단계 6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

단계 8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2$ , $0$ 일 때, $- x$ 값을 계산합니다.

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

단계 9.2

$- 1$ , $1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 9.3.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

단계 10

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 1$ 과 $0$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

단계 11.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

단계 11.3

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 - \ln (1)$

단계 11.4

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$- 2 - 0$

단계 11.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 2 + 0$

단계 11.6

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2$

단계 12