미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.4

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \tan (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \tan (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.7.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \tan (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.7.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \tan (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.8

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.8.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (0) + 5 \tan (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.8.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 + 5 \tan (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.8.1.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 5 \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.8.1.4

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.8.1.5

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.8.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.1.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.5

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \tan (3 x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.6

$\sec^{2} (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (3 \cdot \sec^{2} (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.7

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \sec^{2} (3 x)}{1}$

단계 1.4

$2 \cos (2 x) + 15 \sec^{2} (3 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + 15 \sec^{2} (3 x)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \sec^{2} (3 x)$

단계 2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \sec^{2} (3 x)$

단계 2.3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 15 \sec^{2} (3 x)$

단계 2.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 15 \sec^{2} (3 x)$

단계 2.5

$15$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)$

단계 2.6

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sec^{2} (3 x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}$

단계 2.7

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)$

단계 2.8

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)$

단계 3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \sec^{2} (3 \cdot 0)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cos (0) + 15 \sec^{2} (3 \cdot 0)$

단계 4.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 \cdot 1 + 15 \sec^{2} (3 \cdot 0)$

단계 4.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 15 \sec^{2} (3 \cdot 0)$

단계 4.1.4

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 + 15 \sec^{2} (0)$

단계 4.1.5

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 + 15 \cdot 1^{2}$

단계 4.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 + 15 \cdot 1$

단계 4.1.7

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 15$

단계 4.2

$2$ 를 $15$ 에 더합니다.

$17$