미적분 예제

${(\frac{1}{x})}^{x}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(\frac{1}{x})}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}]$

단계 1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\frac{1}{x})}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \ln (\frac{1}{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x \ln (\frac{1}{x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x \ln (\frac{1}{x})$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (\frac{1}{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$\frac{1}{x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x^{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 11

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} (- x^{- 2}) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 12

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1

$x^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2} x^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 12.3

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 13

$x^{0} \cdot - 1$ 을 간단히 합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

단계 15

$\ln (\frac{1}{x})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}))$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \cdot - 1 + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

단계 16.2

항을 묶습니다.

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단계 16.2.1

$e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 \cdot e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

단계 16.2.2

$- 1 e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ 을 $- e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$- e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

단계 16.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x}) - e^{x \ln (\frac{1}{x})}$