미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

단계 3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

단계 4

먼저 $u = 5 - 7 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 7 d x$ 이므로 $- \frac{1}{7} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 5 - 7 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$5 - 7 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

단계 4.1.2

미분합니다.

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단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $5 - 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

단계 4.1.2.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 7 \cdot 1$

단계 4.1.3.3

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 7$

단계 4.1.4

$0$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$- 7$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

단계 5.2

$\frac{1}{u^{4}}$ 에 $\frac{1}{7}$ 을 곱합니다.

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

단계 5.3

$u^{4}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

단계 7

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

단계 8

$\frac{1}{7}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\frac{1}{7}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

단계 9.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

단계 9.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 9.2.1

$u^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

단계 9.2.2

${(u^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

단계 9.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{- 4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ 가 됩니다.

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ 을 $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

단계 11.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$\frac{1}{u^{3}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

단계 11.2.2

$u^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

단계 11.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

단계 11.2.4

$\frac{3}{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

단계 11.2.5

$\frac{3}{7}$ 에 $\frac{1}{3 u^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

단계 11.2.6

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

단계 11.2.7

$3$ 및 $21$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.7.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

단계 11.2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.7.2.1

$21 u^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

단계 11.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

단계 11.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $5 - 7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$