미적분 예제

$e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

단계 1

$f (x) = e^{- x}$ , $g (x) = x^{2} + 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

단계 4.3.2

$(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

단계 4.3.3

$- 1 (x^{2} + 2 x)$ 을 $- (x^{2} + 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

단계 5.4

항을 묶습니다.

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단계 5.4.1

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

단계 5.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

단계 5.4.3

$e^{- x} (2 x)$ 에서 $2 x e^{- x}$ 을 뺍니다.

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단계 5.4.3.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

단계 5.4.3.2

$2 x e^{- x}$ 에서 $2 x e^{- x}$ 을 뺍니다.

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

단계 5.4.4

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

단계 5.5

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

단계 5.6

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$