미적분 예제

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

단계 1.2

$2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 \arctan (\frac{t}{2})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ 입니다.

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

단계 2.2

$f (t) = \arctan (t)$ , $g (t) = \frac{t}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

단계 2.2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

단계 2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

단계 2.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

단계 2.6

$\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

단계 2.7

$1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

단계 2.8

$5$ 와 $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{t}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

단계 3.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

단계 3.3.3

$2$ 와 $\frac{t^{2}}{4}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

단계 3.3.4

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.4.1

$2 t^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

단계 3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

단계 3.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

단계 3.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

단계 3.3.5

$0$ 를 $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

단계 3.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.5.2

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

단계 3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

단계 3.7

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.1

$5$ 와 $\frac{2}{t^{2} + 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

단계 3.7.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10}{t^{2} + 4}$