미적분 예제

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

단계 1.1.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

단계 1.1.3

$2 (x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

단계 1.2

$3 x^{2} + 6 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3 x^{2}$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

단계 1.2.2

$6 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

단계 1.2.3

$3 x (x) + 3 x (2)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

단계 3

먼저 $u = 3 x (x + 2)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (6 x + 6) d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = 3 x (x + 2)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$3 x (x + 2)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

단계 3.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x (x + 2)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

단계 3.1.3

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.4.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.4.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

단계 3.1.4.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.6.1

$x + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x + x + 2)$

단계 3.1.4.6.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$3 (2 x + 2)$

단계 3.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

단계 3.1.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + 3 \cdot 2$

단계 3.1.5.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x + 6$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

단계 4.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

단계 5

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

단계 6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{1}{6}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 6.1.2

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 6.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 6.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 6.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 6.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 6.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 6.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 6.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 8.2

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $3 x (x + 2)$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$