미적분 예제

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 1) d x$

단계 1

$u = x + 1$ 이고 $d v = \sqrt{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(x + 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2.2

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

단계 3

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$1$ , $0$ 일 때, $(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

단계 5.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 값을 계산합니다.

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \frac{2 \cdot 1}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{2}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.4

$2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.6

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.8

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.9

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.10.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.11

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.12

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.13

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.13.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.13.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{1}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.14

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.15

$\frac{4}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.16

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.17

$\frac{2}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.18

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

단계 5.3.19

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

단계 5.3.20

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.20.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

단계 5.3.20.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

단계 5.3.21

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

단계 5.3.22

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

단계 5.3.23

$0$ 에 $\frac{2}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

단계 5.3.24

$\frac{2}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

단계 5.3.25

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

단계 5.3.26

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

단계 5.3.27

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{4}{15}$

단계 5.3.28

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

단계 5.3.29

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.3.29.1

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

단계 5.3.29.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

단계 5.3.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 5 - 4}{15}$

단계 5.3.31

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.31.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{20 - 4}{15}$

단계 5.3.31.2

$20$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{16}{15}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{16}{15}$

소수 형태:

$1.0\overline{6}$

대분수 형식:

$1 \frac{1}{15}$

단계 7