미적분 예제

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

단계 1

$4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ 을 $t^{2} + 4$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

단계 1.2

피제수 $4 t^{3}$ 의 고차항을 제수 $t^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 t^{3} + 0 + 16 t$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

단계 1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

단계 1.7

피제수 $- t^{2}$ 의 고차항을 제수 $t^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

단계 1.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

단계 1.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- t^{2} + 0 - 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

단계 1.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

단계 1.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

단계 3

$4$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

단계 7

$4$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

단계 8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$t^{2}$ 와 $4$ 을 다시 정렬합니다.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

단계 8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

단계 9

$\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ 입니다.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\arctan (\frac{t}{2})$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

단계 10.2

간단히 합니다.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

단계 10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$4$ 와 $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ 을 묶습니다.

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

단계 10.3.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

$4 \arctan (\frac{t}{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

단계 10.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

단계 10.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

단계 10.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

단계 10.3.2.2.4

$2 \arctan (\frac{t}{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

단계 10.4

항을 다시 정렬합니다.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$