미적분 예제

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

단계 1.3

$100 e$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $100 e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $100 e$ 입니다.

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{4}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

단계 1.4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

단계 1.4.3

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

단계 1.5

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

항을 묶습니다.

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단계 1.6.1.1

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

단계 1.6.1.2

$e^{x} + 32 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x} + 32 x^{3}$

단계 1.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $32 x^{3} + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $32 x^{3}$ 의 미분은 $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $96 x^{2} + e^{x}$ 입니다.

$96 x^{2} + e^{x}$