미적분 예제

$y = x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$x (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.7

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.2.8

$\cos (5 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin^{2} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 입니다.

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 1.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 1.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 1.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 1.3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \cos (x))$

단계 1.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - 2 \sin (x) \cos (x)$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x \sin (5 x)$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)]$ 입니다.

$- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.3.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$- 5 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 5 (x (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.7

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 (x (\cos (5 x) \cdot 5) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.8

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- 5 (x (5 \cdot \cos (5 x)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.2.9

$\sin (5 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 입니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.5

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.6

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.10

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 2.4.1.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 2.4.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 2.4.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \cdot 1)$

단계 2.4.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \cdot 5$

단계 2.4.5

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

단계 2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

단계 2.5.3

항을 묶습니다.

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단계 2.5.3.1

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 25 (x (\cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

단계 2.5.3.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 25 x \cos (5 x) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 5 \sin (5 x)$

단계 2.5.3.3

$- 5 \sin (5 x)$ 에서 $5 \sin (5 x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 25 x \cos (5 x) - 10 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$