미적분 예제

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(\frac{1}{x})}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

단계 1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

단계 2

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

단계 3

$x \ln (\frac{1}{x})$ 을 $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

단계 4.1.3

분자는 상수이고 분모는 $x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 근접할 때 $0$ 에 근접하므로 분수 $\frac{1}{x}$ 은 무한대로 발산합니다.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 4.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.3

$\frac{1}{x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.5

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.6

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.9

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 4.3.11

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

단계 4.3.12

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

단계 4.3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

단계 4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

단계 4.5

인수끼리 묶습니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

단계 4.5.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

단계 4.5.3

$\frac{1}{x}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

단계 4.6

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

단계 4.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

단계 4.6.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

단계 4.6.2.3

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

단계 4.6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

단계 4.6.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

단계 5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{0}$

단계 6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$