미적분 예제

$y = {(3 x^{2} - 6 x + 1)}^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{2} - 6 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $3 x^{2} - 6 x + 1$ 로 바꿉니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 6 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.5

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.7

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + 0)$

단계 1.2.9

$6 x - 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (3 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

단계 1.3.2

항을 묶습니다.

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단계 1.3.2.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(6 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

단계 1.3.2.2

$- 6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(6 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

단계 1.3.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$

단계 1.3.3

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = (6 x - 6) (6 x^{2} - 12 x + 2)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$f (x) = 6 x - 6$ , $g (x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(6 x - 6) \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 2] + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} - 12 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$(6 x - 6) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(6 x - 6) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(6 x - 6) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.4

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$(6 x - 6) (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.5

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.7

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.8

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12 + 0) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.9

$12 x - 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

단계 2.2.10

합의 법칙에 의해 $6 x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.2.11

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.2.13

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.2.14

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + 0)$

단계 2.2.15

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.15.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \cdot 6$

단계 2.2.15.2

$6 x^{2} - 12 x + 2$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 \cdot (6 x^{2} - 12 x + 2)$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x - 6) (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5

항을 묶습니다.

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단계 2.3.5.1

$12$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$72 x \cdot x - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$72 (x^{1} x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$72 (x^{1} x^{1}) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$72 x^{1 + 1} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$72 x^{2} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.6

$12$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} - 72 x + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.7

$- 12$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} - 72 x - 72 x - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.8

$- 6$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} - 72 x - 72 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.9

$- 72 x$ 에서 $72 x$ 을 뺍니다.

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.10

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.11

$- 12$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 6 \cdot 2$

단계 2.3.5.12

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 12$

단계 2.3.5.13

$72 x^{2}$ 를 $36 x^{2}$ 에 더합니다.

$108 x^{2} - 144 x + 72 - 72 x + 12$

단계 2.3.5.14

$- 144 x$ 에서 $72 x$ 을 뺍니다.

$108 x^{2} - 216 x + 72 + 12$

단계 2.3.5.15

$72$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 108 x^{2} - 216 x + 84$