미적분 예제

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = 5 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.1.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $5 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.5.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.6.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $5 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.8

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.10

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.11

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + 0)$

단계 3.12

분수를 통분합니다.

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단계 3.12.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 5$

단계 3.12.2

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$