미적분 예제

$lim_{x \to 0} {(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}}$ 을 $e^{\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})}$

단계 1.2

$\frac{1}{3 x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{3 x} \ln (1 - \sin (2 x))}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \ln (1 - \sin (2 x))}$

단계 2.2

$\frac{1}{3 x}$ 와 $\ln (1 - \sin (2 x))$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{3 x}}$

단계 2.3

$\frac{1}{3}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.4

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (lim_{x \to 0} 2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (2 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \sin (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \sin (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 - \sin (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 - \sin (2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 - \sin (2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $1 - \sin (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 가 됩니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 에 더합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (2 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.7

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.7.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.8

$\frac{1}{1 - \sin (2 x)}$ 와 $\cos (2 x)$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.9

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.10

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.11

$- 2$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.14

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}{1}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 1}$

단계 3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

단계 4.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

단계 4.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

단계 4.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

단계 4.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

단계 4.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}}$

단계 4.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}}$

단계 4.8

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

단계 4.9

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}}$

단계 5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}}$

단계 5.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{- 1}{3} \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{- \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 6.3

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 (\frac{1}{3}) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 6.3.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 6.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 6.5.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 6.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \sin (0)}}$

단계 6.6.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 0}}$

단계 6.6.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 + 0}}$

단계 6.6.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

단계 6.7

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

공약수로 약분합니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

단계 6.7.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot 1}$

단계 6.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- \frac{2}{3}}$

단계 6.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{\frac{2}{3}}}$