미적분 예제

$f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ about $θ = 0$

단계 1

$a$ 를 지나는 일차 함수식을 세웁니다.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

단계 2

선형 함수에 $a = 0$ 값을 대입합니다.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

단계 3

$f (0)$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $θ$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \cos ((0) + \frac{π}{3})$

단계 3.2

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

괄호를 제거합니다.

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

단계 3.2.2

$0$ 를 $\frac{π}{3}$ 에 더합니다.

$\cos (\frac{π}{3})$

단계 3.2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2}$

단계 4

도함수를 구하고 $0$ 에서의 값을 계산합니다.

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단계 4.1

$f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ 의 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$f (θ) = \cos (θ)$ , $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $θ + \frac{π}{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

단계 4.1.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

단계 4.1.1.3

$u$ 를 모두 $θ + \frac{π}{3}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

단계 4.1.2

미분합니다.

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단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $θ + \frac{π}{3}$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ 가 됩니다.

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

단계 4.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 는 $n θ^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

단계 4.1.2.3

$\frac{π}{3}$ 이 $θ$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{3}$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

단계 4.1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

단계 4.1.2.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (θ + \frac{π}{3})$

단계 4.2

수식에서 변수 $θ$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$- \sin ((0) + \frac{π}{3})$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$0$ 를 $\frac{π}{3}$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{π}{3})$

단계 4.3.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 5

해당 값들을 선형화 함수에 대입하여 $a$ 에서 선형화한 식을 구합니다.

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (x - 0)$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x$

단계 6.2

$x$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 묶습니다.

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{x \sqrt{3}}{2}$

단계 7