미적분 예제

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.1.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.1.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 1.1.1.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 1.1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 1.1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

단계 1.1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

단계 1.1.1.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

단계 1.1.1.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.1.2.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.1.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.1.2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.2.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.1.2.9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.1.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.1.2.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

단계 1.1.1.2.12

$\frac{1}{3}$ 와 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

단계 1.1.1.2.13

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.1.1.2.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.2.15

$3$ 와 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.2.16

공약수로 약분합니다.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.2.17

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

미분합니다.

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단계 1.1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

단계 1.1.2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

단계 1.1.2.2.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.1.2.2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.1.2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

단계 1.1.2.2.3

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 1.1.2.2.3.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 1.1.2.2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 1.1.2.2.4

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

단계 1.1.2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

단계 1.1.2.2.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.7

${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.7.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.7.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.7.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.9

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.2.11.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.11.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

단계 1.1.2.2.13

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

단계 1.1.2.2.14

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

단계 1.1.2.2.15

$\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 1.1.2.2.16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.2.2.17

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 와 ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.2.2.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 1.1.2.2.19

지수를 더하여 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 에 ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.19.1

${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

단계 1.1.2.2.19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

단계 1.1.2.2.19.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

단계 1.1.2.2.19.4

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.1.2.3

$0$ 에서 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ 입니다.

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 1.2.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$x + 3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}$

단계 2.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$x + 3 \sqrt[3]{x - 1}$

단계 2.2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 미분값이 양수이므로 그래프는 아래로 오목합니다.

아래로 오목한 그래프

단계 4