미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

단계 1.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

단계 1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

단계 1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

단계 2

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ 및 $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ 부터 샌드위치 정리를 적용합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

단계 3

$0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ 및 $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ 부터 샌드위치 정리를 적용합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 4.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.2.1

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 4.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 4.1.2.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 4.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

단계 4.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

단계 4.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 4.3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 4.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

단계 4.4

$\sec^{2} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

단계 5.2

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

단계 6

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

단계 7.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

단계 7.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

단계 7.1.3

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 + 0 + 1^{2}$

단계 7.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 + 0 + 1$

단계 7.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 + 1$

단계 7.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3$