미적분 예제

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$

단계 1

$e^{2 θ}$ 와 $\sin (2 θ)$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \sin (2 θ) e^{2 θ} d θ$

단계 2

$u = \sin (2 θ)$ 이고 $d v = e^{2 θ}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (2 \cos (2 θ)) d θ$

단계 3

$\frac{1}{2} \cdot 2$ 은 $θ$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

단계 4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 θ}$ 을 묶습니다.

$\sin (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

단계 4.2

$\sin (2 θ)$ 와 $\frac{e^{2 θ}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

단계 4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

단계 4.4

$e^{2 θ}$ 와 $\cos (2 θ)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int \cos (2 θ) e^{2 θ} d θ)$

단계 5

$u = \cos (2 θ)$ 이고 $d v = e^{2 θ}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ))$

단계 6

$\frac{1}{2} \cdot - 2$ 은 $θ$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot - 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

단계 7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 θ}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

단계 7.2

$\cos (2 θ)$ 와 $\frac{e^{2 θ}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

단계 7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

단계 7.5

$\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

단계 7.6

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

단계 7.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + 1 (\frac{2}{2}) (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

단계 7.6.3

$\frac{2}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{2}{2} (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

단계 7.7

$\frac{- 2}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

단계 7.8

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

단계 7.8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

단계 8

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ 을 풀면 $\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}}$ 입니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$\cos (2 θ) e^{2 θ}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 \cdot (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

단계 9.1.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

단계 9.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

단계 9.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

단계 9.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

단계 9.1.3

$8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

단계 9.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

단계 9.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

단계 9.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

단계 9.1.3.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

단계 9.1.4

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

단계 9.1.5

조합합니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.8

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - 2 \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.9

$- 2$ 와 $\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- 2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.10

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.10.1

$- 2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 (1)}}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- \cos (2 θ) e^{2 θ}}{1}}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.10.2.4

$- \cos (2 θ) e^{2 θ}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{2 \cdot 2} + C$

단계 9.1.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$

단계 9.2

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$ 을 $\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$